MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS-JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER.

 

Gauss:

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista.

Por ejemplo:

El sistema transformado en matriz:

Este tipo de sistemas es muy fácil de resolver obteniendo el valor de las incógnitas de abajo hacia arriba. De esta manera, podemos ir sustituyendo los valores obtenidos en las anteriores.

z = 2

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

y+3.(2)=8;

 y=8-6=2
y=+2

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

 y=2

x+(2)+3.(2)=-8;

 x=-16

Gauss-Jordan:

Una vez que la matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida, se dará un procedimiento esquemeático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser emplado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida.

El procedimiento es el siguiente

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo: 

 -3x + 3y + 2z = 1 

 4x + y - z =2 

 x - 2y + z = 3 

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz: 

En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3:

Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del 1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo.

En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente posición de la fila de abajo: 

Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer renglón sumarlo al tercero:

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la segunda fila entre 5: 
 

Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y abajo del 1, que en este caso sería, para el que esta arriba R2+R1:

Ahora hay que hacer cero la posición a12. En este caso con hacer R2+R1 es suficiente: 

Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a33:  

Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos: 

El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo a R2: 

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:

x = 1

y = 0

 z = 2  

Inversa de una matriz:

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).

Por ejemplo: 

Resolveremos el siguiente sistema en forma matricial:

Expresamos el sistema en forma matricial:

Calculamos |A|  para ver si existe A^-1 : 

Calculamos la inversa de A:

Despejamos X: 

Por tanto, la solución del sistema es:

 x = 1, y = 1, x = 0 

Regla de cramer

La regla de Cramer utiliza las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, por separado, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

•          El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
•          El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero (det (A) ≠ 0)

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que  rango (A) = rango (A *) = n (nº de incógnitas).

Por ejemplo: 

Sistema de dimensión 3x3:

La matriz de coeficientes del sistema es:

La matriz de incógnitas es:

La matriz de términos independientes es:

Calculamos el determinante de $\mathrm{|A|}$:

Podemos aplicar la regla de Cramer.

La matriz $A_1$ es como $A$ pero cambiando la columna 1 por la columna $B$:

Calculamos $x$:

La matriz $A_2$ es como $A$ pero cambiando la columna 2 por la columna $B$:

Calculamos $y$:

La matriz $A_3$ es como $A$ pero cambiando la columna 3 por la columna $B$:

Calculamos $z$:

Por tanto, la solución del sistema es: